![Найти площадь полной поверхности призмы. Площадь боковой поверхности правильной призмы треугольной, четырехугольной и шестиугольной](https://i0.wp.com/fb.ru/misc/i/gallery/91036/2962438.jpg)
Это самые распространенные объемные фигуры среди остальных подобных, которые встречаются в быту и природе. Изучением их свойств занимается стереометрия, или пространственная геометрия. В данной статье раскроем вопрос о том, как можно найти площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, а также четырехугольной и шестиугольной.
Перед тем как рассчитывать площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы и других видов этой фигуры, следует разобраться, что они собой представляют. Затем научимся определять интересующие величины.
Призмой, с точки зрения геометрии, называется объемное тело, которое ограничено двумя произвольными одинаковыми многоугольниками и n параллелограммами, где n - это число сторон одного многоугольника. Нарисовать такую фигуру легко, для этого следует изобразить какой-нибудь многоугольник. Потом провести из каждой его вершины отрезок, который будет равен по длине и параллелен всем остальным. Затем требуется соединить концы этих линий между собой так, чтобы получился еще один многоугольник, равный исходному.
Выше видно, что фигура ограничена двумя пятиугольниками (они называются нижним и верхним основаниями фигуры) и пятью параллелограммами, которые на рисунке соответствуют прямоугольникам.
Все призмы отличаются друг от друга двумя главными параметрами:
Количество сторон прямоугольника дает название призме. Отсюда получаем выше упомянутые треугольную, шестиугольную и четырехугольную фигуры.
Также они различаются по величине наклона. Что касается отмеченных углов, то если они равны 90 o , тогда такую призму называют прямой, или прямоугольной (угол наклона равен нулю). Если некоторые из углов прямыми не являются, то фигура зовется косоугольной. Различие между ними видно с первого взгляда. Рисунок ниже демонстрирует эти разновидности.
Как видно, высота h совпадает с длиной ее бокового ребра. В случае косоугольной этот параметр всегда меньше.
Поскольку мы должны ответить на вопрос о том, как найти площадь боковой поверхности правильной призмы (треугольной, четырехугольной и так далее), то нужно дать определение этому типу объемной фигуры. Разберем материал подробнее.
Правильная призма - это прямоугольная фигура, у которой правильный многоугольник образует идентичные основания. Этой фигурой может быть треугольник равносторонний, квадрат и другие. Любой n-угольник, все длины сторон и углы которого одинаковые, будет правильным.
Ряд таких призм показан схематически на рисунке ниже.
Как было сказано в эта фигура состоит из n + 2 плоскостей, которые, пересекаясь, образуют n + 2 грани. Две из них принадлежат основаниям, остальные образованы параллелограммами. Площадь всей поверхности состоит из суммы площадей указанных граней. Если в нее не включать значения двух оснований, тогда мы получаем ответ на вопрос о том, как найти площадь боковой поверхности призмы. Так, можно определить ее значение и оснований отдельно друг от друга.
Ниже приводится для которой боковая поверхность образована тремя четырехугольниками.
Рассмотрим процесс вычислений далее. Очевидно, что площадь боковой поверхности призмы равна сумме n площадей соответствующих параллелограммов. Здесь n - это число сторон многоугольника, образующего основание фигуры. Площадь каждого параллелограмма можно найти, если умножить длину его стороны на опущенную на нее высоту. Это касаемо общего случая.
Если изучаемая призма является прямой, тогда процедура определения площади ее боковой поверхности S b значительно облегчается, поскольку такая поверхность состоит из прямоугольников. В этом случае можно воспользоваться следующей формулой:
Где h - высоты фигуры, P o - периметр ее основания
Приведенная в пункте выше формула в случае такой фигуры принимает вполне конкретный вид. Поскольку периметр n-угольника равен произведению числа его сторон на длину одной, то получается следующая формула:
Где a - длина стороны соответствующего n-угольника.
Воспользуемся формулой выше, чтобы определить необходимые значения для отмеченных трех типов фигур. Расчеты будут выглядеть следующим образом.
Для треугольной формула примет вид:
Например, сторона треугольника равна 10 см, а высота фигуры - 7 см, тогда:
S 3 b = 3*10*7 = 210 см 2
В случае четырехугольной призмы искомое выражение принимает форму:
Если взять те же значения длин, что и в предыдущем примере, тогда получаем:
S 4 b = 4*10*7 = 280 см 2
Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы рассчитывается по формуле:
Подставляя те же числа, что и в предыдущих случаях, имеем:
S 6 b = 6*10*7 = 420 см 2
Заметим, что в случае правильной призмы любого типа ее боковая поверхность образована одинаковыми прямоугольниками. В примерах выше площадь каждого из них составляла a*h = 70 см 2 .
Определение значения площади боковой поверхности для данной фигуры выполнить несколько сложнее, чем для прямоугольной. Тем не менее приведенная выше формула остается той же самой, только вместо периметра основания следует взять периметр перпендикулярного среза, а вместо высоты - длину бокового ребра.
Рисунок выше демонстрирует четырехугольную косоугольную призму. Заштрихованный параллелограмм - это и есть тот перпендикулярный срез, периметр которого P sr необходимо рассчитать. Длина бокового ребра на рисунке обозначена буквой C. Тогда получаем формулу:
Периметр среза можно найти, если известны углы параллелограммов, образующих боковую поверхность.
Определение. Призма - это многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях, причем в этих же двух плоскостях лежат две грани призмы, представляющие собой равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны.
Две равные грани называются основаниями призмы (ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1) .
Все остальные грани призмы называются боковыми гранями (AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Все боковые грани образуют боковую поверхность призмы .
Все боковые грани призмы являются параллелограммами.
Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы(AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 , EE 1 ).
Диагональю призмы называется отрезок, концами которого служат две вершины призмы, не лежащие на одной ее грани (АD 1).
Длина отрезка, соединяющего основания призмы и перпендикулярного одновременно обоим основаниям,называется высотой призмы .
Обозначение: ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 . (Сначала в порядке обхода указывают вершины одного основания, а затем в том же порядке - вершины другого; концы каждого бокового ребра обозначают одинаковыми буквами, только вершины, лежащие в одном основании, обозначаются буквами без индекса, а в другом - с индексом)
Название призмы связывают с числом углов в фигуре, лежащей в ее основании, например, на рисунке 1 в основании лежит пятиугольник, поэтому призму называют пятиугольной призмой
. Но т.к. у такой призмы 7 граней, то она семигранник
(2 грани - основания призмы, 5 граней - параллелограммы, - ее боковые грани)
Среди прямых призм выделяется частный вид: правильные призмы.
Прямая призма называется правильной, если ее основания-правильные многоугольники.
Прямоугольный параллелепипед - прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.
Свойства и теоремы:
,
где d - диагональ квадрата;
a - сторона квадрата.
Представление о призме дают:
S полн = S бок + 2S осн ,
где S полн - площадь полной поверхности,S бок -площадь боковой поверхности, S осн - площадь основания
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы .
S бок = P осн * h,
где S бок -площадь боковой поверхности прямой призмы,
P осн - периметр основания прямой призмы,
h - высота прямой призмы, равная боковому ребру.
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.
Площадь боковой поверхности призмы. Здравствуйте! В этой публикации мы с вами разберём группу задач по стереометрии. Рассмотрим комбинацию тел – призмы и цилиндра. На данный момент эта статья завершает всю серию статей связанных с рассмотрением типов заданий по стереометрии.
Если в банке заданий будут появляться новые, то, конечно же, будут и дополнения на блоге в будущем. Но и того что уже есть вполне достаточно, чтобы вы могли научиться решать все задачи с кратким ответом в составе экзамена. Материала хватит на годы вперёд (программа по математике статична).
Представленные задания связаны с вычислением площади призмы. Отмечу, что ниже рассматривается прямая призма (и соответственно прямой цилиндр).
Без знания всяких формул, мы понимаем, что боковая поверхность призмы это все её боковые грани. У прямой призмы боковые грани это прямоугольники.
Площадь боковой поверхности такой призмы равна сумме площадей всех её боковых граней (то есть прямоугольников). Если речь идёт о правильной призме, в которую вписан цилиндр, то понятно, что все грани этой призмы являются РАВНЫМИ прямоугольниками.
Формально площадь боковой поверхности правильной призмы можно отразить так:
27064. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Боковая поверхность данной призмы состоит из четырёх равных по площади прямоугольников. Высота грани равна 1, ребро основания призмы равно 2 (это два радиуса цилиндра), следовательно площадь боковой грани равна:
Площадь боковой поверхности:
73023. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √0,12, а высота равна 3.
Площадь боковой поверхности данной призмы равна сумме площадей трёх боковых граней (прямоугольников). Для нахождения площади боковой грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота равна трём. Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху):
Имеем правильный треугольник в который вписана окружность с радиусом √0,12. Из прямоугольного треугольника АОС можем найти АС. А затем и AD (AD=2АС). По определению тангенса:
Значит AD=2АС=1,2.Таким образом, площадь боковой поверхности равна:
27066. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √75, а высота равна 1.
Искомая площадь равна сумме площадей всех боковых граней. У правильной шестиугольной призмы боковые грани это равные прямоугольники.
Для нахождения площади грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота известна, она равна 1.
Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху):
Имеем правильный шестиугольник, в который вписана окружность радиуса √75.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО. Нам известен катет ОВ (это радиус цилиндра). ещё можем определить угол АОВ, он равен 300 (треугольник АОС равносторонний, ОВ –биссектриса).
Воспользуемся определением тангенса в прямоугольном треугольнике:
АС=2АВ, так как ОВ является медианой, то есть делит АС пополам, значит АС=10.
Таким образом, площадь боковой грани равна 1∙10=10 и площадь боковой поверхности:
76485. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 8√3, а высота равна 6.
Площадь боковой поверхности указанной призмы из трёх равных по площади граней (прямоугольников). Чтобы найти площадь требуется знать длину ребра основания призмы (высота нам известна). Если рассматривать проекцию (вид сверху), то имеем правильный треугольник вписанный в окружность. Сторона этого треугольника выражается через радиус как:
Подробности этой взаимосвязи . Значит она будет равна
Тогда площадь боковой грани равна: 24∙6=144. А искомая площадь:
245354. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.
Определение .
Это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники
Боковое ребро - это общая сторона двух смежных боковых граней
Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы
Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани
Диагональная плоскость - плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра
Диагональное сечение - границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) - это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам
На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:
Правильная призма - призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат . (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы) Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия - призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме . Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .
Решение
.
Правильный четырехугольник - это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна
Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√((12√2) 2
+ 14 2
) = 22 см
Ответ : 22 см
Решение
.
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:
A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:
H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Ответ : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.