Можно вводить как целые числа, например 34 , так и дробные, например, 637.333 . Для дробных чисел указывается точность перевода после запятой.
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Пример №1
.
Перевод из 2 в 8 в 16 системы счисления.
Эти системы кратны двум, следовательно, перевод осуществляется с использованием таблицы соответствия (см. ниже).
Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (шестнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой.
Пример №2
. 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
здесь 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.
Пример №3
. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
здесь 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Перевод чисел из 2 , 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят путем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его порядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складываются.
Пример №4
.
Пример перевода из двоичной в десятичную систему счисления.
1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 -2 +1·2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10
Пример перевода из восьмеричной в десятичную систему счисления.
108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10
Пример перевода из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления.
108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10
Еще раз повторим алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую ПСС
Двоичная СС | Шестнадцатеричная СС |
0000 | 0 |
0001 | 1 |
0010 | 2 |
0011 | 3 |
0100 | 4 |
0101 | 5 |
0110 | 6 |
0111 | 7 |
1000 | 8 |
1001 | 9 |
1010 | A |
1011 | B |
1100 | C |
1101 | D |
1110 | E |
1111 | F |
Таблица для перевода в восьмеричную систему счисления
Инструкция
Видео по теме
В той системе счета, которой мы пользуемся каждый день, десять цифр - от нуля до девяти. Поэтому она называется десятичной. Однако в технических расчетах, особенно тех, которые имеют отношение к компьютерам, используются и другие системы , в частности, двоичная и шестнадцатеричная. Поэтому нужно уметь переводить числа из одной системы счисления в другую.
Вам понадобится
Инструкция
Двоичная система - самая простая. В ней всего две цифры - ноль и единица. Каждая цифра двоичного числа , начиная с конца, соответствует степени двойки. Два в равняется одному, в первой - двум, во второй - четырем, в третьей - восьми, и так далее.
Предположим, что вам дано двоичное число 1010110. Единицы в нем стоят на втором, третьем, пятом и седьмом с конца местах. Поэтому в десятичной системе это число равно 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.
Обратная задача - десятичного числа
систему. Предположим, у вас есть число 57. Чтобы получить его запись, вы должны последовательно делить это число на 2 и записывать остаток от деления. Двоичное число будет строиться от конца к началу.
Первый шаг даст вам последнюю цифру: 57/2 = 28 (остаток 1).
Затем вы получаете вторую с конца: 28/2 = 14 (остаток 0).
Дальнейшие шаги: 14/2 = 7 (остаток 0);
7/2 = 3 (остаток 1);
3/2 = 1 (остаток 1);
1/2 = 0 (остаток 1).
Это последний шаг, потому что результат деления равен нулю. В итоге вы получили двоичное число 111001.
Проверьте правильность ответа: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.
Вторая , используемая в компьютерных вопросах - шестнадцатеричная. В ней не десять, а шестнадцать цифр. Чтобы не новых условных обозначений, первые десять цифр шестнадцатеричной системы обозначаются обычными цифрами, а остальные шесть - латинскими буквами: A, B, C, D, E, F. десятичной записи они соответствуют числа м от 10 до 15. Во избежание путаницы перед числом, записанным по шестнадцатеричной системе, ставят знак # или символы 0x.
Чтобы число из шестнадцатеричной системы , нужно каждую его цифру умножить на соответствующую степень шестнадцати и сложить результаты. Например, число #11A в десятичной записи равняется 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282.
Обратный перевод из десятичной системы
в шестнадцатеричную совершается тем же методом остатков, что и в двоичную. Например, возьмите число 10000. Последовательно деля его на 16 и записывая остатки, вы получите:
10000/16 = 625 (остаток 0).
625/16 = 39 (остаток 1).
39/16 = 2 (остаток 7).
2/16 = 0 (остаток 2).
Результатом вычислений станет шестнадцатеричное число #2710.
Проверьте правильность ответа: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.
Переводить числа
из шестнадцатеричной системы
в двоичную гораздо проще. Число 16 является двойки: 16 = 2^4. Поэтому каждую шестнадцатеричную цифру можно записать как четырехзначное двоичное число. Если у вас в двоичном числе получается меньше четырех знаков, добавляйте в начало нули.
Например, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Проверьте правильность ответа: оба числа
в десятичной записи равны 8062.
Для перевода вам нужно разбить двоичное число на группы по четыре цифры, начиная с конца, и каждую такую группу заменить шестнадцатеричной цифрой.
Например, 11000110101001 превращается в (0011)(0001)(1010)(1001), что в шестнадцатеричной записи дает #31A9. Правильность ответа подтверждается переводом в десятичную запись: оба числа
равны 12713.
Благодаря ограниченности в использовании символов двоичная система является наиболее удобной для использования в компьютерах и других цифровых устройствах. Символов всего два: 1 и 0, поэтому эту систему применяют в работе регистров.
Инструкция
Двоичная является позиционной, т.е. позиции каждой цифры в числе соответствует определенный разряд, который равен двум в соответствующей степени. Степень начинается с нуля и увеличивается по мере движения справа налево. Например, число 101 равно 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.
Широким распространением среди позиционных систем пользуются также восьмеричная, шестнадцатеричная и десятичная системы . И если для первых двух более применим второй метод, то для перевода из применимы оба.
Рассмотрим десятичного числа в двоичную систему методом последовательного деления на 2.Чтобы перевести десятичное число 25 в
Замечание 1
Если вы хотите перевести число из одной системы счисления в другую, то удобнее для начала перевести его в десятичную систему счисления, и уже только потом из десятичной перевести в любую другую систему счисления.
В вычислительной технике, использующей машинную арифметику, большую роль играет преобразование чисел из одной системы счисления в другую. Ниже приведем основные правила таких преобразований (переводов).
При переводе двоичного числа в десятичное требуется представить двоичное число в виде многочлена , каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $2$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:
$X_2=A_n \cdot 2^{n-1} + A_{n-1} \cdot 2^{n-2} + A_{n-2} \cdot 2^{n-3} + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Рисунок 1. Таблица 1
Пример 1
Число $11110101_2$ перевести в десятичную систему счисления.
Решение. Используя приведенную таблицу $1$ степеней основания $2$, представим число в виде многочлена:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_{10}$
Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в десятичную требуется представить его в виде многочлена, каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $8$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:
$X_8 = A_n \cdot 8^{n-1} + A_{n-1} \cdot 8^{n-2} + A_{n-2} \cdot 8^{n-3} + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Рисунок 2. Таблица 2
Пример 2
Число $75013_8$ перевести в десятичную систему счисления.
Решение. Используя приведенную таблицу $2$ степеней основания $8$, представим число в виде многочлена:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_{10}$
Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную необходимо его представить в виде многочлена, каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $16$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:
$X_{16} = A_n \cdot 16^{n-1} + A_{n-1} \cdot 16^{n-2} + A_{n-2} \cdot 16^{n-3} + ... + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Рисунок 3. Таблица 3
Пример 3
Число $FFA2_{16}$ перевести в десятичную систему счисления.
Решение. Используя приведенную таблицу $3$ степеней основания $8$, представим число в виде многочлена:
$FFA2_{16} = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_{10}$
Пример 4
Число $22_{10}$ перевести в двоичную систему счисления.
Решение:
Рисунок 4.
$22_{10} = 10110_2$
Пример 5
Число $571_{10}$ перевести в восьмеричную систему счисления.
Решение:
Рисунок 5.
$571_{10} = 1073_8$
Пример 6
Число $7467_{10}$ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
Решение:
Рисунок 6.
$7467_{10} = 1D2B_{16}$
Для того чтобы перевести правильную дробь из десятичной системы счисления в недесятичную, необходимо дробную часть преобразуемого числа последовательно умножить на основание той системы, в которую ее требуется перевести. Дробь в новой системе будет представлена в виде целых частей произведений, начиная с первого.
Например: $0,3125_{(10)}$ в восьмеричной системе счисления будет выглядеть как $0,24_{(8)}$.
В данном случае можно столкнуться с проблемой, когда конечной десятичной дроби может соответствовать бесконечная (периодическая) дробь в недесятичной системе счисления. В данном случае количество знаков в дроби, представленной в новой системе, будет зависеть от требуемой точности. Также нужно отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби - дробями в любой системе счисления.
Рисунок 7. Таблица 4
Пример 7
Число $1001011_2$ перевести в восьмеричную систему счисления.
Решение . Используя таблицу 4, переведем число из двоичной системы счисления в восьмеричную:
$001 001 011_2 = 113_8$
Способы перевода чисел из одной системы счисления в другую.
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую: перевод целых чисел.
Чтобы перевести целое число из одной системы счисления с основанием d1 в другую с основанием d2 необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на основание d2 новой системы до тех пор, пока не получится частное меньше основания d2. Последнее частное - старшая цифра числа в новой системе счисления с основанием d2, а следующие за ней цифры - это остатки от деления, записываемые в последовательности, обратной их получению. Арифметические действия выполнять в той системе счисления, в которой записано переводимое число.
Пример 1. Перевести число 11(10) в двоичную систему счисления.
Ответ: 11(10)=1011(2).
Пример 2. Перевести число 122(10) в восьмеричную систему счисления.
Ответ: 122(10)=172(8).
Пример 3. Перевести число 500(10) в шестнадцатеричную систему счисления.
Ответ: 500(10)=1F4(16).
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую: перевод правильных дробей.
Чтобы перевести правильную дробь из системы счисления с основанием d1 в систему с основанием d2, необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание новой системы счисления d2. Правильная дробь числа в новой системе счисления с основанием d2 формируется в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.
Если при переводе получается дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда, процесс можно закончить при достижении необходимой точности.
При переводе смешанных чисел, необходимо в новую систему перевести отдельно целую и дробную части по правилам перевода целых чисел и правильных дробей, а затем оба результата объединить в одно смешанное число в новой системе счисления.
Пример 1. Перевести число 0,625(10) в двоичную систему счисления.
Ответ: 0,625(10)=0,101(2).
Пример 2. Перевести число 0,6(10) в восьмеричную систему счисления.
Ответ: 0,6(10)=0,463(8).
Пример 2. Перевести число 0,7(10) в шестнадцатеричную систему счисления.
Ответ: 0,7(10)=0,В333(16).
Перевод двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в десятичную систему счисления.
Для перевода числа P-ичной системы в десятичную необходимо использовать следующую формулу разложения:
аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .
Пример 1. Перевести число 101,11(2) в десятичную систему счисления.
Ответ: 101,11(2)= 5,75(10) .
Пример 2. Перевести число 57,24(8) в десятичную систему счисления.
Ответ: 57,24(8) = 47,3125(10) .
Пример 3. Перевести число 7A,84(16) в десятичную систему счисления.
Ответ: 7A,84(16)= 122,515625(10) .
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления и обратно.
Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать трехразрядным двоичным числом (триадой).
Пример: записать число 16,24(8) в двоичной системе счисления.
Ответ: 16,24(8)= 1110,0101(2) .
Для обратного перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления, необходимо исходное число разбить на триады влево и вправо от запятой и представить каждую группу цифрой в восьмеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняют нулями.
Пример: записать число 1110,0101(2) в восьмеричной системе счисления.
Ответ: 1110,0101(2)= 16,24(8) .
Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать четырехразрядным двоичным числом (тетрадой).
Пример: записать число 7A,7E(16) в двоичной системе счисления.
Ответ: 7A,7E(16)= 1111010,0111111(2) .
Примечание: незначащие нули слева для целых чисел и справа для дробей не записываются.
Для обратного перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления, необходимо исходное число разбить на тетрады влево и вправо от запятой и представить каждую группу цифрой в шестнадцатеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняют нулями.
Пример: записать число 1111010,0111111(2) в шестнадцатеричной системе счисления.